每日一题[1710]蝴蝶定理

如图所示,开口向右的抛物线对称轴与 $x$ 轴重合,焦点位于坐标原点处,并且过 $(-1,0)$ 点.设直线 $y=\dfrac x{k_1}$ 与抛物线交于点 $A(x_1,y_1)$,$B(x_2,y_2)$($y_1>0$)两点,直线 $y=\dfrac x{k_2}$ 与抛物线交于 $C(x_3,y_3)$,$D(x_4,y_4)$($y_3>0$)两点.

1、求抛物线方程.

2、求证:$\dfrac{k_1y_1y_2}{y_1+y_2}=\dfrac{k_2y_3y_4}{y_3+y_4}$.

3、设直线 $AC,BD$ 分别与 $y$ 轴交于 $P,Q$ 两点,求证:$|OP|=|OQ|$.

解析

1、根据题意,抛物线的焦点到准线的距离为 $2$,进而其方程为 $y^2=4(x+1)$.

2、根据抛物线的平均性质,有\[\begin{cases} (x_1+1)(x_2+1)=1,\\ (x_3+1)(x_4+1)=1,\end{cases}\iff y_1y_2=y_3y_4=-4,\]又\[k_1=\dfrac{x_1-x_2}{y_1-y_2}=\dfrac{y_1+y_2}4,\]类似的,有 $k_2=\dfrac{y_3+y_4}4$,因此命题得证.

3、根据题意,直线 $AC$ 的截距为\[\dfrac{x_1y_3-x_3y_1}{x_1-x_3} =\dfrac{\left(\dfrac{y_1^2}4-1\right)y_3-\left(\dfrac{y_3^2}4-1\right)y_1}{\dfrac{y_1^2}4-\dfrac{y_3^2}4} =\dfrac{y_1y_3+4}{y_1+y_3},\]而\[\dfrac{y_1y_3+4}{y_1+y_3}=\dfrac{\dfrac{16}{y_2y_4}+4}{\dfrac{-4}{y_2}+\dfrac{-4}{y_4}}=-\dfrac{y_2y_4+4}{y_2+y_4},\]因此直线 $AC$ 与直线 $BD$ 的截距互为相反数,命题得证.

备注    即二次曲线的蝴蝶定理.

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