Math173

称一个复数数列 $\{z_n\}$ 为“有趣的”，若 $|z_1|=1$，且对任意正整数 $n$，均有 $4z_{n+1}^2+2z_nz_{n+1}+z_n^2=0$．求最大的常数 $C$，使得对一切有趣的数列 $\{z_n\}$ 及任意正整数 $m$，具有 $|z_1+z_2+\cdots+z_m|\geqslant C$．

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点 $F$ 为双曲线 $C:\dfrac{x^2}{a^2}-\dfrac{y^2}{b^2}=1$（$a,b>0$）的焦点，过点 $F$ 的直线与双曲线的一条渐近线垂直且交于点 $A$，与另一条渐近线交于点 $B$．若 $3\overrightarrow{AF}+\overrightarrow{BF}=0$，则双曲线 $C$ 的离心率是（       ）

A．$\dfrac{\sqrt5}{2}$

B．$\dfrac{\sqrt6}{2}$

C．$\sqrt3$

D．$\sqrt6$

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在平面直角坐标系 $xOy$ 中，圆 $\Omega$ 与抛物线 $\Gamma:y^2=4x$ 恰有一个公共点，且圆 $\Omega$ 与 $x$ 轴相切于 $\Gamma$ 的焦点 $F$．求圆 $\Omega$ 的半径．

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已知圆 $x^2+y^2=4$ 上一点 $(x_0,y_0)$ 处的切线交抛物线 $y^2=8x$ 于 $A,B$ 两点，且满足 $\angle AOB=90^\circ$，其中 $O$ 为坐标原点，则 $x_0=$ （       ）

A．$\dfrac 14$

B．$\dfrac 12$

C．$1$

D．$2$

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将 $6$ 个数 $2,0,1,9,20,19$ 按任意次序排成一行，拼成一个 $8$ 位数（首位不为 $0$），则产生的不同的 $8$ 位数的个数为_______．

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实数 $x,y$ 满足 $x^2+(y-2)^2\leqslant 1$，则 $\dfrac{x+\sqrt 3y}{\sqrt{x^2+y^2}}$ 的最大值和最小值分别是（         ）

A．最大值为 $2$，最小值为 $\sqrt 3$

B．最大值为 $2$，最小值为 $1$

C．最大值为 $2\sqrt 3$，最小值为 $\sqrt 3$

D．最大值为 $2\sqrt 3$，最小值为 $1$

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如图，正方体 $ABCD-A_1B_1C_1D_1$ 的一个截面经过顶点 $A,C$ 及棱 $A_1B_1$ 上一个点 $K$，其将正方体分成体积比为 $3:1$ 的两部分，则 $\dfrac{A_1K}{KB_1}$ 的值为_______．

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已知 $4444^{4444}$ 的各位数字之和为 $a$，$b$ 是 $a$ 的各位数字之和，$c$ 为 $b$ 的各位数字之和，则 $c=$ （     ）

A．$4$

B．$5$

C．$6$

D．$7$

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对任意闭区间 $I$，用 $M_I$ 表示函数 $y=\sin x$ 在 $I$ 上的最大值．若正数 $a$ 满足 $M_{[0,a]}=2M_{[a,2a]}$，则 $a$ 的值为_______．

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双曲线 $\dfrac{x^2}{a^2}-\dfrac{y^2}{b^2}=1$（$a,b>0$）的左、右焦点分别为 $F_1,F_2$，渐近线分别为 $l_1,l_2$，点 $P$ 在第一象限内且在 $l_1$ 上，若 $l_2\perp PF_1$，$l_2\parallel PF_2$，则双曲线的离心率是（       ）

A．$\sqrt5$

B．$2$

C．$\sqrt3$

D．$\sqrt2$

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