将 $2n$ 个数 $1,2,3,\cdots,2n$ 分为两组，每组 $n$ 个数，将第一组从大到小排列为 $a_1,a_2,\cdots,a_n$，将第二组从小到大排列为 $b_1,b_2,\cdots,b_n$，然后将两组对应位置的数作差取绝对值，求证：这些绝对值的和为定值．
有多少种方式可以将正整数集合 $\mathbb{N}^{\ast}$ 分成两个不相交的子集的并，使得每个子集都不包含无穷等差数列？（ ）
A．$0$
B．$1$
C．无穷
D．前三个答案都不对
设曲线 $C:|x^2-16y|=256-16|y|$ 所围成的封闭区域为 $D$．
1、 求区域 $D$ 的面积．
2、设过点 $M(0,-16)$ 的直线与曲线 $C$ 交于 $P,Q$，求 $|PQ|$ 的最大值．
已知抛物线 $C_1$ 的顶点 $\left (\sqrt 2-1,1\right)$，焦点 $\left(\sqrt 2-\dfrac 34,1\right)$，另一抛物线 $C_2$ 的方程 $y^2-ay+x+2b=0$，$C_1$ 与 $C_2$ 在一个交点处它们的切线互相垂直，试证 $C_2$ 必过定点，并求该点的坐标．
设实数 $a,b$ 满足不等式 $\big| |a| - (a+b)\big| < \big|a-|a+b| \big|$，则 $a$ ____ $0$，$b$____$0$．（填 $>$ 或 $<$）
如图，将同心圆环均匀分成 $n$（$n\geqslant3$）格，在内环中固定数字 $1\thicksim n$．问能否将数字 $1\thicksim n$ 填入外环格内，使得外环旋转任意格后，有且仅有一个格中内外环的数字相同？
设实数 $x_1,x_2,\cdots,x_{2018}$ 满足 $x_{n+1}^2\leqslant x_nx_{n+2}$（$n=1,2,\cdots,2016$）和 $\displaystyle \prod \limits_{n=1}^{2018}x_n=1$，证明：$x_{1009}x_{1010}\leqslant1$．
设 $a\in\mathbb R$，且对任意实数 $b$ 均有 $\max\limits_{x\in[0,1]}| {x^2}+ax+b|\geqslant1$，求 $a$ 的取值范围．
设 $a_1,a_2,\cdots,a_n$ 为非负数．求证：\[\sqrt{a_1+a_2+\cdots+a_n}+\sqrt{a_2+a_3+\cdots+a_n}+\sqrt{a_3+\cdots+a_n}+\cdots+\sqrt{a_n}\geqslant \sqrt{a_1+4a_2+9a_3+\cdots+n^2 a_n}.\]
