每日一题[1725]容斥原理

将 $6$ 个数 $2,0,1,9,20,19$ 按任意次序排成一行,拼成一个 $8$ 位数(首位不为 $0$),则产生的不同的 $8$ 位数的个数为_______.

答案    $498$.

解析    $6$ 个数组成的首位不为 $0$ 的排列有 $5\cdot 5!=600$ 个.记 $A$ 为 $2$ 后面为 $0$,$B$ 为 $1$ 后面为 $9$,用 $n(X)$ 表示符合 $X$ 的首位不为 $0$ 的排列数,则\[\begin{cases} n(A)=5!=120,\\ n(B)=4\cdot 4!=96,\\ n(A\cap B)=4!=24,\end{cases}\]于是所求个数为\[600-n(A\cup B)+\dfrac{n(A\cup B)}2-\dfrac{n(A\cap B)}4=498.\]

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