每日一题[1721]滑动窗口

对任意闭区间 $I$,用 $M_I$ 表示函数 $y=\sin x$ 在 $I$ 上的最大值.若正数 $a$ 满足 $M_{[0,a]}=2M_{[a,2a]}$,则 $a$ 的值为_______.

答案    $\dfrac{5\pi}6$ 或 $\dfrac{13\pi}{12}$.

解析    若 $a\in\left(0,\dfrac{\pi}2\right]$,则\[M_{[0,a]}=\sin a\leqslant M_{[a,2a]},\]与题意不符.因此 $a>\dfrac{\pi}2$,此时\[M_{[0,a]}=2M_{[a,2a]}=1.\]

进而 $[a,2a]$ 的区间长度至多为 $\dfrac{4\pi}3$,因此 $a\in\left(\dfrac{\pi}2,\dfrac{4\pi}3\right)$,进而可得 $[a,2a]\subseteq \left[\dfrac{5\pi}6,\dfrac{13\pi}6\right]$,且 $\dfrac{5\pi}6,\dfrac{13\pi}6$ 中至少有一个在区间 $[a,2a]$ 上,因此 $a=\dfrac{5\pi}6$ 或 $a=\dfrac{13\pi}{12}$.

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