每日一题[1723]截面分析

如图,正方体 $ABCD-A_1B_1C_1D_1$ 的一个截面经过顶点 $A,C$ 及棱 $A_1B_1$ 上一个点 $K$,其将正方体分成体积比为 $3:1$ 的两部分,则 $\dfrac{A_1K}{KB_1}$ 的值为_______.

答案    $\sqrt 3$.

解析    延长 $AK,BB_1$ 交于点 $F$,连接 $CF$ 交 $B_1C_1$ 于 $E$,如图.

不妨设正方体的棱长为 $1$,$KB_1=x$,根据题意,$ACEK$ 即题中截面,因此三棱台 $KB_1E-ABC$ 的体积为 $\dfrac 14$.利用 $\triangle A_1AK$ 与 $\triangle FB_1K$ 相似,可得 $FB_1=\dfrac{x}{1-x}$,进而 $FB=\dfrac{1}{x-1}$,又 $F-KB_1E$ 与 $F-ABC$ 的相似比为 $x$,因此\[\dfrac 13\cdot \dfrac 12\cdot \dfrac1{1-x}\cdot (1-x^3)=\dfrac 14\implies x=\dfrac{\sqrt 3-1}2,\]从而 $\dfrac{A_1K}{KB_1}=\dfrac{1-x}x=\sqrt 3$.

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