每日一题[1720]画图优先

双曲线 $\dfrac{x^2}{a^2}-\dfrac{y^2}{b^2}=1$($a,b>0$)的左、右焦点分别为 $F_1,F_2$,渐近线分别为 $l_1,l_2$,点 $P$ 在第一象限内且在 $l_1$ 上,若 $l_2\perp PF_1$,$l_2\parallel PF_2$,则双曲线的离心率是(       )

A.$\sqrt5$

B.$2$

C.$\sqrt3$

D.$\sqrt2$

答案    B.

解析    根据题意,$\triangle F_1PF_2$ 为直角三角形,且 $\angle F_1PF_2$ 为直角,设 $O$ 为坐标原点,$M$ 为 $PF_1$ 的中点,则 $OP$ 和 $OM$ 是双曲线的两条渐近线.

设 $\angle POF_2=\angle POF_1=\theta$,则 $\angle MOF_1$ 与 $\angle MF_1O$ 互余可得\[\angle MOF_1+\dfrac 12\angle POF_2=\dfrac{\pi}2\implies \theta+\dfrac 12\theta=\dfrac{\pi}2\implies \theta=\dfrac{\pi}3,\]因此双曲线的离心率为 $2$.

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