已知函数 $f(x)={\rm ln}x$，$g(x)=\dfrac12x^2-bx$（$b>1$ ）．对于区间 $[1,2]$ 内的任意两个不相等的实数 $x_1,x_2$ 都有 $|f(x_1)-f(x_2)|>|g(x_1)-g(x_2)|$ 成立，求 $b$ 的取值范围．
若函数 $f(x)=(x^2-1)^2-|x^2-1|+k$ 恰好有 $8$ 个不同的零点，则实数 $k$ 的取值范围是_______．
已知 $a,b$ 为实数，函数 $f(x)=|a^2x^2-1|+ax$，若 $f(x)\geqslant|x|$ 对一切 $x\in[b,+\infty)$ 都成立，则 $m=a^2b^2+\left(b-\dfrac12\right)^2$ 的最小值为________．
设函数 $f(x)=ax^3-3x+1$（$x\in\mathbb R$），若对于任意 $x\in[-1,1]$ 都有 $f(x)\geqslant 0$ 成立，则实数 $a$ 的值为_______．
直线 $ax+by+c=0$ 与圆 $O:x^2+y^2=16$ 交于点 $M,N$，若 $c^2=a^2+b^2$，$P$ 为圆 $O$ 上任意一点，则 $\overrightarrow{PM}\cdot\overrightarrow{PN}$ 的取值范围是_______．
在 $\triangle ABC$ 中，$AB=2AC$，且其面积 $S_{\triangle ABC}=1$，则 $BC$ 的最小值是_______．
设 $4$ 次整系数多项式 $f(x)$ 满足 $f\big(1+\sqrt[3]{3}\big)=1+\sqrt[3]{3}$，$f\big(1+\sqrt{3}\big)=7+\sqrt{3}$，则 $f(x)=$ _______．
已知实数 $a>b>0$，函数 $f(x)=\dfrac{x}{\sqrt{a-x^2}-\sqrt{b-x^2}}$ 的最大值是_______．
如图，球 $O$ 的内接八面体 $PABCDQ$ 中，顶点 $P,Q$ 分别在平面 $ABCD$ 两侧，且四棱锥 $P-ABCD$ 与 $Q-ABCD$ 都是正四棱锥．设二面角 $P-AB-Q$ 的平面角的大小为 $\theta$，则 $\tan \theta$ 的取值范围是_______．
直线 $ax+by+c=0$ 与圆 $x^2+y^2=9$ 相交于两点 $M,N$，若 $c^2=a^2+b^2$，则 $\overrightarrow{OM}\cdot\overrightarrow{ON}$（$O$ 为坐标原点）等于（ ）
A．$-7$
B．$-14$
C．$7$
D．$14$
