每日一题[1722]步步压缩

已知 $4444^{4444}$ 的各位数字之和为 $a$,$b$ 是 $a$ 的各位数字之和,$c$ 为 $b$ 的各位数字之和,则 $c=$ (     )

A.$4$

B.$5$

C.$6$

D.$7$

答案    D.

解析    由于 $4444\lg 4444<4444\cdot 4=17776$,于是\[a<17776\cdot 9=159984,\]因此\[b<1+9\cdot 5=46.\]进而\[c<4+9=13.\]又\[4444^{4444}\equiv a\equiv b\equiv c\pmod 9,\]而\[4444^{4444}\equiv (-2)^{4444}\equiv 64^{740}\cdot 16\equiv 7\pmod 9,\]这样就得到了 $c=7$.

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