每日一题[1728]加强韦达定理

点 $F$ 为双曲线 $C:\dfrac{x^2}{a^2}-\dfrac{y^2}{b^2}=1$($a,b>0$)的焦点,过点 $F$ 的直线与双曲线的一条渐近线垂直且交于点 $A$,与另一条渐近线交于点 $B$.若 $3\overrightarrow{AF}+\overrightarrow{BF}=0$,则双曲线 $C$ 的离心率是(       )

A.$\dfrac{\sqrt5}{2}$

B.$\dfrac{\sqrt6}{2}$

C.$\sqrt3$

D.$\sqrt6$

答案    B.

解析    不妨设题中过点 $F$ 的直线为 $x=\dfrac bay+c$,双曲线的渐近线方程为 $\dfrac{x^2}{a^2}-\dfrac{y^2}{b^2}=0$,联立可得\[\left(\dfrac{b^2}{a^4}-\dfrac1{b^2}\right)y^2+\dfrac{2bc}{a^3}y+c^2=0,\]根据韦达定理,可得\[\left(\dfrac{2bc}{a^3}\right)^2=\left(-3-\dfrac 13+2\right)\left(\dfrac{b^2}{a^4}-\dfrac1{b^2}\right)c^2,\]不妨设 $a=1$,则 $c=e$,$b=\sqrt{e^2-1}$,整理化简可得\[4e^4-8e^2+3=0,\]解得 $e=\dfrac{\sqrt 6}2$.

此条目发表在每日一题分类目录,贴了标签。将固定链接加入收藏夹。

发表评论