每日一题[1724]构造图形

实数 $x,y$ 满足 $x^2+(y-2)^2\leqslant 1$,则 $\dfrac{x+\sqrt 3y}{\sqrt{x^2+y^2}}$ 的最大值和最小值分别是(         )

A.最大值为 $2$,最小值为 $\sqrt 3$

B.最大值为 $2$,最小值为 $1$

C.最大值为 $2\sqrt 3$,最小值为 $\sqrt 3$

D.最大值为 $2\sqrt 3$,最小值为 $1$

答案    B.

解析    记 $O(0,0)$,$P(x,y)$,$Q(1,\sqrt 3)$,题中代数式为 $f$,则 $f$ 是 $\overrightarrow{OQ}$ 在 $\overrightarrow{OP}$ 方向上的投影数量 $\overline{OH}$,如图.

由于 $\langle OP,OQ\rangle$ 的取值范围是 $\left[0,\dfrac{\pi}3\right]$,因此所求 $f$ 的最大值为 $|OQ|=2$,最小值为 $\dfrac12|OQ|=1$.

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