若关于 $x$ 的方程 $\sqrt{a+\sqrt{a+\sqrt{a+{\rm e}^x-x}}}={\rm e}^x-x$ 有实数解，则实数 $a$ 的取值范围是_______．
已知函数 $f(x)=x\ln x-\dfrac 12mx^2-x$．
1、当 $m=4$ 时，求曲线 $y=f(x)$ 在点 $(1,f(1))$ 处的切线方程．
2、若 $f(x)$ 有两个极值点 $x_1,x_2$（$x_1<x_2$）且 $\ln x_2-2\ln x_1>\dfrac{ax_1}{x_2-x_1}$ 恒成立，求整数 $a$ 的最大值．
设点 $M$ 是棱长为 $2$ 的正方体 $ABCD-A_1B_1C_1D_1$ 的棱 $AD$ 的中点，点 $P$ 在面 $BCC_1B_1$ 所在的平面内，若平面 $D_1PM$ 分别与平面 $ABCD$ 和平面 $BCC_1B_1$ 所成的锐二面角相等，则点 $P$ 到 $C_1$ 的最小距离是（ ）
A．$\dfrac{2\sqrt 5}5$
B．$\dfrac{\sqrt 2}2$
C．$1$
D．$\dfrac{\sqrt 6}3$
等腰三角形 $AOB$ 内接于抛物线 $y^2=2px$（$p>0$），$O$ 为抛物线顶点，$OA\perp OB$，$\triangle AOB$ 的面积是 $16$，抛物线的焦点为 $F$，$M$ 为抛物线上的动点，则 $\dfrac{|OM|}{|MF|}$ 的最大值是（ ）
A．$\dfrac{\sqrt 3}3$
B．$\dfrac{\sqrt 6}3$
C．$\dfrac{2\sqrt 3}3$
D．$\dfrac{2\sqrt 6}3$
已知 $a,b,c>0$，且 $a+b+c=3$，求证：$\dfrac{a}{1+b}+\dfrac{b}{1+c}+\dfrac{c}{1+a}\geqslant \dfrac 32$．
已知平面向量 $\overrightarrow a,\overrightarrow b,\overrightarrow c$ 满足 $\overrightarrow a\cdot \overrightarrow b=1$，$\overrightarrow b\cdot \overrightarrow c=1$，$\overrightarrow c\cdot \overrightarrow a=2$，则 $\left|\overrightarrow a+\overrightarrow b+\overrightarrow c\right|$ 的取值范围是_______．
已知双曲线 $\dfrac{x^2}{a^2}-\dfrac{y^2}{b^2}=1$（$a,b>0$）的右焦点为 $F$，过 $F$ 的直线交双曲线于 $A,B$ 两点，点 $C$ 是点 $A$ 关于原点 $O$ 的对称点，若 $CF\perp AB$ 且 $2|AF|=|FB|$，则双曲线的离心率为_______．
已知实数 $x,y,t$ 满足 $x^2+y^2=1$，$(x-t)^2+y^2=5$，则 $x^2+(y-2t)^2$ 的最小值是______．
已知数列 $\{a_n\}$ 满足 $a_0=0$，$a_1=\dfrac 13$，且对任意 $n=1,2,\cdots$，均有 $3a_{n+1}-4a_n+3a_{n-1}=0$，求证：对任意正整数 $n$，均有 $|a_n|<\dfrac 12$．
