每日一题[1337]代数与几何

设点 $M$ 是棱长为 $2$ 的正方体 $ABCD-A_1B_1C_1D_1$ 的棱 $AD$ 的中点,点 $P$ 在面 $BCC_1B_1$ 所在的平面内,若平面 $D_1PM$ 分别与平面 $ABCD$ 和平面 $BCC_1B_1$ 所成的锐二面角相等,则点 $P$ 到 $C_1$ 的最小距离是(       )

A.$\dfrac{2\sqrt 5}5$

B.$\dfrac{\sqrt 2}2$

C.$1$

D.$\dfrac{\sqrt 6}3$

答案    A.

解法一    建立空间直角坐标系 $D-ACD_1$,则\[\overrightarrow n_{ABCD}=(0,0,1),\overrightarrow n_{BCC_1B_1}=(0,1,0),\]设平面 $D_1MP$ 的方程为\[\alpha:px+qy+rz+t=0,\]由 $\alpha$ 过点 $D_1(0,0,2)$ 和 $M(1,0,0)$,以及平面 $D_1PM$ 分别与平面 $ABCD$ 和平面 $BCC_1B_1$ 所成的锐二面角相等可得\[\begin{cases} 2r+t=0,\\ p+t=0,\\ |q|=|r|,\end{cases}\]于是\[(p,q,r)=\left(-t,\pm\dfrac 12t,-\dfrac 12t\right),\]进而\[\alpha:2x\pm y+z-2=0.\]因此点 $P$ 的轨迹为\[l:2x+z=0,\]或\[l:2x+z-4=0,\]进而 $C_1(0,2,2)$ 到 $l$ 的距离 $\dfrac{2}{\sqrt 5}$ 即为所求.

解法二    如图,设 $M$ 在右侧面的投影为 $N$,则 $\triangle D_1MP$ 平面 $ABCD$ 和 $BCC_1B_1$ 上的投影面积相同,均为 $1$,于是点 $P$ 到直线 $NC_1$ 的距离为定值 $\dfrac{2}{\sqrt 5}$,因此点 $P$ 到 $C_1$ 的最小距离为 $\dfrac{2}{\sqrt 5}$. 

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