每日一题[1339]不动点

若关于 $x$ 的方程 $\sqrt{a+\sqrt{a+\sqrt{a+{\rm e}^x-x}}}={\rm e}^x-x$ 有实数解,则实数 $a$ 的取值范围是_______.

答案    $[0,+\infty)$.

解析    即函数\[f(x)=\sqrt{a+\sqrt{a+\sqrt {a+x}}}-x\]在 $[1,+\infty)$ 上有实数解.注意到 $\displaystyle\lim_{x\to +\infty}f(x)=-\infty$,于是只需要函数 $f(x)$ 在 $[1,+\infty)$ 上存在非负函数值.

情形一     $f(1)\geqslant 0$,即\[\sqrt{a+\sqrt {a+\sqrt{a+1}}}\geqslant 1,\]解得 $a\geqslant 0$,符合题意.

情形二 $f(1)<0$,即 $a<0$.此时在 $x\in [1,+\infty)$ 时有\[\sqrt{a+x}<x,\]因此在 $[1,+\infty)$ 上,有 $f(x)<0$,不符合题意. 综上所述,实数 $a$ 的取值范围是 $[0,+\infty)$.

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