每日一题[1338]齐次代换

已知函数 $f(x)=x\ln x-\dfrac 12mx^2-x$.

1、当 $m=4$ 时,求曲线 $y=f(x)$ 在点 $(1,f(1))$ 处的切线方程.

2、若 $f(x)$ 有两个极值点 $x_1,x_2$($x_1<x_2$)且 $\ln x_2-2\ln x_1>\dfrac{ax_1}{x_2-x_1}$ 恒成立,求整数 $a$ 的最大值.

解析

1、函数 $f(x)$ 的导函数\[f'(x)=\ln x-mx,\]于是当 $m=4$ 时,有\[f(1)=-3,f'(1)=-4,\]于是所求切线方程为 $y=-4x+1$.

2、根据题意,有\[\dfrac{\ln x_1}{x_1}=\dfrac{\ln x_2}{x_2}=m,\]其中 $0<m<\dfrac{1}{\rm e}$.令 $\dfrac{x_2}{x_1}=t$($t>1$),则\[x_1=\dfrac{\ln t}{m(t-1)},x_2=\dfrac{t\ln t}{m(t-1)},\]于是题意即\[\forall t>1,a<m(x_2-2x_1)\cdot \left(\dfrac{x_2}{x_1}-1\right),\]也即\[\forall t>1,a<\dfrac{(t-2)\ln t}{t-1}\cdot (t-1),\]也即\[\forall t>1,a<(t-2)\ln t.\]记不等式右侧函数为 $\varphi(t)$,注意到\[\varphi'(t)=\ln t-\dfrac 2t+1,\]于是 $\varphi'(t)$ 单调递增,而\[\varphi'(1)<0<\varphi'(2),\]于是 $\varphi(t)$ 在 $(1,2)$ 上有极小值,亦为最小值点,记为 $t_0$,此时\[\ln t_0-\dfrac 2{t_0}+1=0,\]而\[\varphi(t_0)=(t_0-2)\ln t_0=(t_0-2)\cdot \left(\dfrac 2{t_0}-1\right)=4-\left(t_0+\dfrac 4{t_0}\right),\]由 $1<t_0<2$ 可得\[-1<\varphi(t_0)<0,\]因此整数 $a$ 的最大值为 $-1$.

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