已知 $F$ 为椭圆 $E:\dfrac{x^2}{a^2}+\dfrac{y^2}{b^2}=1$（$a>b>0$）的焦点，$P$ 为椭圆 $E$ 上任意一点，过椭圆中心 $O$ 作与椭圆 $E$ 在 $P$ 处的切线 $l$ 平行的椭圆的直线 $l'$ 与直线 $PF$ 交于点 $Q$，求证：$|PQ|=a$．
集合 $A=\left\{2^a+2^b+2^c\mid a,b,c\in\mathbb N\right\}$，集合 $B$ 是 $A$ 的子集，且集合 $B$ 恰好由 $n$ 个连续的自然数构成，则 $n$ 的最大值是____．
设 $a,b,c>0$，且 $a+b+c=1$，求证：$a^2+b^2+c^2+9abc\geqslant 2(ab+bc+ca)$．
已知 $x\in\left(0,\dfrac{\pi}2\right)$，求证：$\cos x+\tan x>2x$．
已知 $A,B,C$ 是 $\triangle ABC$ 的三个内角，则 $m=\dfrac{1}{\sin^2A}+\dfrac{1}{\sin^2B}+\dfrac{4}{1+\sin C}$ 的最小值是_______．
已知 $x_1,x_2,\cdots,x_n>0$，$n\in\mathbb N^{\ast}$，求证：\[\dfrac 1{x_1}+\dfrac 2{x_1+x_2}+\cdots+\dfrac n{x_1+x_2+\cdots+x_n}<2\left(\dfrac 1{x_1}+\dfrac1{x_2}+\cdots+\dfrac 1{x_n}\right).\]
已知向量 $a,b$ 满足 $|a+b|+2|a-b|=15$，$|a|=3$，则 $|b|$ 的最大值为_______；$|b|$ 的最小值为_______．
已知点 $P$ 是正三角形 $ABC$ 内（含边界）的一动点，$P$ 到正三角形 $ABC$ 三边 $AB,BC,CA$ 的距离分别为 $h_1,h_2,h_3$，若 $\sqrt{h_1}+\sqrt{h_2}=\sqrt{h_3}$，求动点 $P$ 的轨迹．
已知函数 $f(x)=ax^3+bx^2+cx+d,a\neq 0$，若对任意 $x\in [-1,1]$，$|f(x)|\leqslant 1$ 恒成立，求 $|a|+|b|+|c|+|d|$ 的最大值．
已知数列 $\{a_n\}$ 的通项 $a_n=\dfrac{nx}{(x+1)(2x+1)\cdots (nx+1)}$（$n\in\mathbb N^{\ast}$）．若 $a_1+a_2+\cdots+a_{2018}<1$，则实数 $x$ 可以等于（ ）
A．$-\dfrac 23$
B．$-\dfrac 5{12}$
C．$-\dfrac{13}{48}$
D．$-\dfrac{11}{60}$
