每日一题[1400]切比雪夫多项式

已知函数 $f(x)=ax^3+bx^2+cx+d,a\neq 0$,若对任意 $x\in [-1,1]$,$|f(x)|\leqslant 1$ 恒成立,求 $|a|+|b|+|c|+|d|$ 的最大值.

答案    $7$.

解析    考虑极端情形,记 $f(x)$ 在 $-1,-\dfrac 12,\dfrac 12,1$ 处的函数值分别为 $p,q,r,s$.

根据题意有\[\begin{cases} p=-a+b-c+d,\\ q=-\dfrac18a+\dfrac14b-\dfrac12c+d,\\ r=\dfrac18a+\dfrac14b+\dfrac12c+d,\\ s=a+b+c+d,\end{cases}\]于是\[\begin{cases} a=\dfrac 16(-4p+8q-4r+4s),\\ b=\dfrac 16(4p-4q-4r+4s),\\ c=\dfrac 16(p-8q+8r-s),\\ d=\dfrac 16(-p+4q+4r-s),\end{cases}\] 记 $m=|a|+|b|+|c|+|d|$,则\[ m=\max_{i,j,k,l\in\{-1,1\}}\{|ia+jb+kc+ld|\}\]而\[\begin{split} a+b+c+d&=s,\\ a-b+c+d&=\dfrac 13(-4p+4q+4r-s),\\ a+b-c+d&=\dfrac 13(-p+8q-8r+4s),\\ a+b+c-d&=\dfrac 13(p-4q-4r+4s),\\ a-b-c+d&=\dfrac 13(-5p+12q-4r),\\ a-b+c-d&=-p,\\ a+b-c-d&=\dfrac 13(4q-12r+5s),\\ a-b-c-d&=\dfrac 13(-2p+4q-4r-s), \end{split}\]而这些值都不超过 $7$,且\[|a-b-c+d|=\dfrac 13|-5p+12q-4r|\leqslant \dfrac 13(5|p|+12|q|+4|r|)\leqslant 7,\]等号当 $r$ 与 $p$ 同号,$q$ 与 $p$ 异号时,且 $|p|=|q|=|r|=1$ 时取得.取 $f(x)=4x^3-3x$ 即可得 $m$ 可以取得 $7$,因此所求最大值为 $7$.

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