平面上 $2n$ 个点（$n>1$，$n \in \mathbb N$），无三点共线，任意两点间连线段，将其中任意 $n^2+1$ 条线段染成红色．求证：三边都为红色的三角形至少有 $n$ 个．
设 $x,y$ 是非负实数，$a=\sqrt x+\sqrt y$，$b=\sqrt {x+2}+\sqrt {y+2}$．若 $a,b$ 是两个不相邻的整数，求 $a,b$ 的值．
设函数 $f_n(x)=1+x+\dfrac {1}{2!}x^2+\cdots+\dfrac {1}{n!}x^n$．
1、求证：当 $x\in (0,+\infty)$，$n \in \mathbb N^+$ 时，${\mathrm e}^x>f_n(x)$． 设 $x>0$，$n \in \mathbb N^{\ast}$．
2、若存在 $y \in \mathbb R$ 使得 ${\mathrm e}^x=f_n(x)+\dfrac {1}{(n+1)!}x^{n+1}{\mathrm e}^y$．求证：$0<y<x$．
在平面直角坐标系 $xOy$ 中，椭圆 $C: \dfrac {x^2}{3}+y^2=1$ 的上顶点为 $A$．不经过点 $A$ 的直线 $l$ 与椭圆 $C$ 交于 $P,Q$ 两点，且 $\overrightarrow {AP}\cdot \overrightarrow {AQ}=0$．
1、直线 $l$ 是否过定点？若是，求出定点坐标；若不是，说明理由．
2、过 $P,Q$ 两点分别作椭圆的切线，两条切线交于点 $B$，求 $\triangle BPQ$ 面积的取值范围．
在平面直角坐标系 $xOy$ 中，$F_1,F_2$ 分别是双曲线 $x^2-\dfrac {y^2}{b^2}=1$（$b>0$）的左、右焦点，过点 $F_1$ 作圆 $x^2+y^2=1$ 的切线，与双曲线左、右两支分别交于 $A,B$．若 $|F_2B|=|AB|$，则 $b$ 的值是_______．
设 $a_n=1+2+\cdots+n$，$n \in\mathbb N^+$，$S_m=a_1+a_2+\cdots+a_m$，$m=1,2,\cdots$，则 $S_1,S_2,\cdots,S_{2017}$ 中能被 $2$ 整除但不能被 $4$ 整除的数的个数是_______．
若 $\sin x \sin 2x \sin 3x+\cos x\cos 2x\cos 3x=1$，则 $x=$_______．
若 $\tan 4x=\dfrac {\sqrt 3}{3}$，则 $\dfrac {\sin 4x}{\cos 8x \cos 4x}+\dfrac {\sin 2x}{\cos 4x \cos 2x}+\dfrac {\sin x}{\cos 2x \cos x}+\dfrac {\sin x}{ \cos x}=$ _______．
