每日一题[1407]二进制

集合 $A=\left\{2^a+2^b+2^c\mid a,b,c\in\mathbb N\right\}$,集合 $B$ 是 $A$ 的子集,且集合 $B$ 恰好由 $n$ 个连续的自然数构成,则 $n$ 的最大值是____.

答案    $12$.

解析    当 $a,b,c$ 两两不等时,$2^a+2^b+2^c$ 的二进制表示包含三个 $1$;当 $a,b,c$ 中有两个数相等且它们均比第三个数小 $1$ 时,$2^a+2^b+2^c$ 的二进制表示包含一个 $1$,且至少在 $2^2$ 位;其他情形下,$2^a+2^b+2^c$ 的二进制表示包含两个 $1$.进而可以构造二进制下的 $12$ 个连续自然数:\[11,100,101,110,111,1000,1001,1010,1011,1100,1101,1110.\]接下来证明 $n$ 的最大值就是 $12$.否则这 $n$ 个连续的自然数中最小数至少为 $10000$,进而在后三位中不能出现 $111$,而从 $000$ 到 $110$ 只有 $6$ 个数,无法取得超过 $12$ 个连续自然数,矛盾. 综上所述 $n$ 的最大值为 $12$.

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