已知 $S$ 是正整数集合的无穷子集，满足对任意 $a,b,c \in S$，$abc \in S$，将 $S$ 中的元素按照由小到大的顺序排列成的数列记为 $\{a_n\}$，且已知 $a_1=2$，$a_{2031}=2^{4061}$，则 $a_{2017}=$ ______．
设数列 $\{a_n\},\{b_n\},\{c_n\}$ 满足 $a_{n+1}=|b_n-c_n|$，$b_{n+1}=|c_n-a_n|$，$ c_{n+1}=|a_n-b_n|$，$n \in\mathbb N$．证明：对于任意正整数 $a_1,b_1,c_1$，存在正整数 $k$，使得 $a_{k+1}=a_k$，$b_{k+1}=b_k$，$c_{k+1}=c_k$．
解析 对任意正整数 $n$，用 $A_n,B_n,C_n$ 表示 $a_n,b_n,c_n$ 的升序排列．下面证明：
引理 存在正整数 $n$，使得 $A_n,B_n,C_n$ 中至少有两个相等，即 $A_n=B_n\leqslant C_n$，或者 $A_n\leqslant B_n=C_n$． 若不然，则对任意正整数 $n$，都有 $A_n<B_n<C_n$，于是\[A_{n+1}=\min\{B_n-A_n,C_n-B_n\}\ne 0,\]且 $C_{n+1}=C_n-A_n\leqslant C_n$．进而\[C_{n+2}=C_{n+1}-A_{n+1}\leqslant C_n-1,\]这样对任意正整数 $k$，均有\[C_{2k+1}\leqslant C_1-k,\]而当 $k>C_1$ 时，这显然不成立．因此引理得证． 根据引理不难得到接下来的 $(A_{n+1},B_{n+1},C_{n+1})=(A_{n+2},B_{n+2},C_{n+2})$，因此命题得证．
设 $x,y \in [0,1]$，求 $f(x,y)=\sqrt {\dfrac {1+xy}{1+x^2}}+\sqrt {\dfrac {1-xy}{1+y^2}}$ 的取值范围．
设 $0<x<\dfrac {\pi}{2}$，证明：$0<\dfrac {x-\sin x}{\tan x -\sin x}<\dfrac 13$．
设 $n$ 是正整数，随机选取 $\{1,2,\cdots,n\}$ 的非空子集 $A$ 和 $B$，则 $A \cap B$ 不是空集的概率是_______．
设 $\theta \in [0,2\pi]$，若对任意 $x \in [0,1]$ 恒有$$2x^2\sin \theta -4x(1-x)\cos \theta +3(1-x)^2>0,$$则 $\theta$ 的取值范围是______．
如图，已知 $\triangle ABC$ 的三个顶点在椭圆 $ \dfrac {x^2}{12}+\dfrac {y^2}{4}=1$ 上，坐标原点 $O$ 为 $\triangle ABC$ 的重心．试求 $\triangle ABC$ 的面积．
若函数 $f(x)=x^3-6x^2+9x$ 在 $(3-a^2,a)$ 内有最大值，则实数 $a$ 的取值范围是_______．
已知正四面体 $ABCD$ 的棱长为 $a$（$a>3$）如图所示，点 $E,F,G$ 分别在棱 $AB,AC,AD$ 上．则满足 $EF=EG=3$，$FG=2$ 的 $\triangle EFG$ 的个数共有（ ）
A．$1$
B．$2$
C．$3$
D．$4$
已知 $\triangle ABC$ 的三边长分别为 $a,b,c$，且 $a^{\pi}+b^{\pi}=c^{\pi}$（$\pi$ 是圆周率），则 $\triangle ABC$ 为（ ）
A．锐角三角形
B．直角三角形
C．钝角三角形
D．以上皆有可能
