每日一题[1401]直译条件

已知点 $P$ 是正三角形 $ABC$ 内(含边界)的一动点,$P$ 到正三角形 $ABC$ 三边 $AB,BC,CA$ 的距离分别为 $h_1,h_2,h_3$,若 $\sqrt{h_1}+\sqrt{h_2}=\sqrt{h_3}$,求动点 $P$ 的轨迹.

答案    $\triangle ABC$ 的内切圆被三边上的切点分成的三段等弧中靠近 $B$ 点的弧.

解析    如图建立平面直角坐标系,不妨设 $A(-1,0)$,$B(0,\sqrt 3)$,$C(1,0)$,则\[\begin{split} AB&:\sqrt 3x-y+\sqrt 3=0,\\ BC&:-\sqrt 3x-y+\sqrt 3=0.\end{split}\]

点 $P(x,y)$ 满足\[\sqrt{\dfrac{\sqrt 3x-y+\sqrt 3}2}+\sqrt{\dfrac{-\sqrt 3x-y+\sqrt 3}2}=y,\]整理可得\[\sqrt{-3x^2+y^2-2\sqrt 3y+3}=2y-\sqrt 3,\]进而\[x^2+\left(y-\dfrac{1}{\sqrt 3}\right)^2=\dfrac13.\]该方程表示正三角形 $ABC$ 的内切圆,结合图形可得所求轨迹是 $\triangle ABC$ 的内切圆被三边上的切点分成的三段等弧中靠近 $B$ 点的弧.

备注    反过来证明内切圆的部分圆弧满足题中所述的性质是容易的.设 $\triangle ABC$ 的中心为 $O$,内切圆半径为 $1$,$\overrightarrow{OP}$ 到 $\overrightarrow{OA},\overrightarrow{OB},\overrightarrow{OC}$ 的角分别为 $\theta-\dfrac{2\pi}3,\theta,\theta+\dfrac{2\pi}3$,于是\[\begin{split}\sqrt{h_1}+\sqrt{h_2}-\sqrt{h_3}&=\sqrt{1+\cos\left(\theta-\dfrac{2\pi}3\right)}+\sqrt{1+\cos\theta}+\sqrt{1+\cos\left(\theta+\dfrac{2\pi}3\right)}\\ &=\cos\left(\dfrac{\theta}2-\dfrac{\pi}3\right)+\cos\left(\dfrac{\theta}2+\dfrac{\pi}3\right)-\cos\dfrac{\theta}2\\ &=0,\end{split}\]于是命题得证.

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