每日一题[1399]高次不等式

已知数列 $\{a_n\}$ 的通项 $a_n=\dfrac{nx}{(x+1)(2x+1)\cdots (nx+1)}$($n\in\mathbb N^{\ast}$).若 $a_1+a_2+\cdots+a_{2018}<1$,则实数 $x$ 可以等于(       )

A.$-\dfrac 23$

B.$-\dfrac 5{12}$

C.$-\dfrac{13}{48}$

D.$-\dfrac{11}{60}$

答案    B.

解析    由于当 $n\geqslant 2$ 时,有\[\dfrac{nx}{(x+1)(2x+1)\cdots (nx+1)}=\dfrac{1}{(x+1)(2x+1)\cdot ((n-1)x+1)}-\dfrac{1}{(x+1)(2x+1)\cdot (nx+1)},\]于是\[a_1+a_2+\cdots+a_{2018}=1-\dfrac{1}{(x+1)(2x+1)\cdots(2018x+1)}<1,\]即\[(x+1)(2x+1)\cdots (2018x+1)>0,\]该不等式的解集\[M=(-\infty,-1)\cup\left(\bigcup_{k=1}^{1008}\left(-\dfrac{1}{2k},-\dfrac{1}{2k+1}\right)\right)\cup\left(-\dfrac{1}{2018}+\infty\right),\]而\[-1<-\dfrac 23<-\dfrac 12<-\dfrac 5{12}<-\dfrac 13<-\dfrac{13}{48}<-\dfrac 14<-\dfrac 15<-\dfrac{11}{60}<-\dfrac 16,\]于是只有选项 B 符合题意.

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