每日一题[1404]猜等放缩

已知 $A,B,C$ 是 $\triangle ABC$ 的三个内角,则 $m=\dfrac{1}{\sin^2A}+\dfrac{1}{\sin^2B}+\dfrac{4}{1+\sin C}$ 的最小值是_______.

答案    $16-8\sqrt 2$.

解析    根据题意,有\[\begin{split} m&\geqslant \dfrac{2}{\sin A\sin B}+\dfrac{4}{1+\sin C}\\ &=\dfrac{4}{\cos (A-B)-\cos (A+B)}+\dfrac{4}{1+\sin C}\\ &\geqslant \dfrac{4}{1+\cos C}+\dfrac{4}{1+\sin C}\\ &\geqslant \dfrac{16}{2+\cos C+\sin C}\\ &\geqslant \dfrac{16}{2+\sqrt 2}\\ &=16-8\sqrt 2,\end{split}\]等号当 $(A,B,C)=\left(\dfrac{3\pi}8,\dfrac{3\pi}8,\dfrac{\pi}4\right)$ 时取得,因此所求 $m$ 的最小值为 $16-8\sqrt 2$.

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