每日一题[1405]分段放缩

已知 $x\in\left(0,\dfrac{\pi}2\right)$,求证:$\cos x+\tan x>2x$.

解析    容易证明\[\forall x\in\left(0,\dfrac{\pi}2\right),\sin x+\tan x>2x,\]于是当 $x\in\left(0,\dfrac{\pi}4\right]$ 时,有\[\cos x+\tan x\geqslant \sin x+\tan x>2x,\]命题成立.当 $x\in\left(\dfrac{\pi}4,\dfrac{\pi}2\right)$ 时,利用 $y=\cos x$ 在 $x=\dfrac{\pi}4$ 和 $x=\dfrac{\pi}2$ 之间的割线,有\[\cos x>-\dfrac{2\sqrt 2}{\pi}\left(x-\dfrac{\pi}2\right),\]利用 $y=\tan x$ 在 $x=\dfrac{\pi}4$ 处的展开,有\[\tan x>1+2\left(x-\dfrac{\pi}4\right)+2\left(x-\dfrac{\pi}4\right)^2,\]于是当 $x\in\left(\dfrac{\pi}4,\dfrac{\pi}2\right)$ 时,有\[ \cos x+\tan x-2x>1+\sqrt 2-\dfrac{\pi}2+\dfrac{\pi^2}8-\left(\dfrac{2\sqrt 2}{\pi}+\pi\right)x+2x^2,\]右侧对应的\[\Delta =\dfrac{8}{\pi^2}+4\pi-4\sqrt 2-8<0,\]因此原命题得证.

此条目发表在每日一题分类目录,贴了标签。将固定链接加入收藏夹。

发表评论