每日一题[1402]代数手段

已知向量 $a,b$ 满足 $|a+b|+2|a-b|=15$,$|a|=3$,则 $|b|$ 的最大值为_______;$|b|$ 的最小值为_______.

答案    $6$;$\dfrac{3\sqrt 6}2$.

解析    一方面,有\[|a+b|+2|a-b|\geqslant |(a+b)-2(a-b)|=|-a+3b|\geqslant 3|b|-|a|,\]于是\[|b|\leqslant \dfrac{|a+b|+2|a-b|+|a|}3=6,\]等号当 $a$ 与 $b$ 同向时取得.因此所求最大值为 $6$. 另一方面,有\[|a+b|+2|a-b|\leqslant \sqrt{1^2+2^2}\cdot \sqrt{|a+b|^2+|a-b|^2}=\sqrt 5\cdot \sqrt{2|a|^2+2|b|^2},\]于是\[|b|\geqslant \dfrac 12\left(\dfrac{|a+b|+2|a-b|}{\sqrt 5}\right)^2-|a|^2=\dfrac{3\sqrt 6}2,\]等号当 $|a+b|=3$,$|a-b|=6$ 时取得.因此所求最小值为 $\dfrac{3\sqrt 6}2$.

此条目发表在每日一题分类目录,贴了标签。将固定链接加入收藏夹。

每日一题[1402]代数手段》有 1 条评论

  1. cbc123e说:

    题目中 |b| 的最大值为__, “为”后面的符号([[nn]])看不懂或是不能正确显示的原因? 从解答过程中也揣摩不出来.

发表评论