每日一题[1406]舒尔不等式

设 $a,b,c>0$,且 $a+b+c=1$,求证:$a^2+b^2+c^2+9abc\geqslant 2(ab+bc+ca)$.

解析    设 $p=a+b+c$,$q=ab+bc+ca$,$r=abc$,则题中不等式即\[(a+b+c)^2-4(ab+bc+ca)+9abc\geqslant 0,\]即\[p^2-4q+9r\geqslant 0,\]也即\[p^3-4pq+9r\geqslant 0,\]根据 $\tt Schur$ 不等式,命题得证.

练习1、设 $a,b,c\geqslant 0$,且 $a+b+c=1$,求证:$9abc\leqslant ab+bc+ca\leqslant \dfrac 14(1+9abc)$.

练习2、已知 $a,b,c>0$,且 $a+b+c=3$,求证:$2(a^3+b^3+c^3)+3abc\geqslant 9$.

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