每日一题[1408]神秘的半长轴

已知 $F$ 为椭圆 $E:\dfrac{x^2}{a^2}+\dfrac{y^2}{b^2}=1$($a>b>0$)的焦点,$P$ 为椭圆 $E$ 上任意一点,过椭圆中心 $O$ 作与椭圆 $E$ 在 $P$ 处的切线 $l$ 平行的椭圆的直线 $l'$ 与直线 $PF$ 交于点 $Q$,求证:$|PQ|=a$.

解析    设 $P(a\cos\theta,b\sin\theta)$,$F(-c,0)$,则切线 $l$ 的方程为\[l:\dfrac{x\cos\theta}a+\dfrac{y\sin\theta}b=1,\]进而直线 $l$ 的法向量\[\overrightarrow \alpha=(b\cos\theta,a\sin\theta),\]直线 $PF$ 的方向向量\[\overrightarrow \beta=(a\cos\theta+c,b\sin\theta),\]点 $P$ 到直线 $l'$ 的距离\[d=\dfrac{1}{\sqrt{\dfrac{\cos^2\theta}{a^2}+\dfrac{\sin^2\theta}{b^2}}}=\dfrac{ab}{\left|\overrightarrow \alpha\right|},\]于是\[\begin{split} |PQ|&=\dfrac{d}{\left|\cos\langle \overrightarrow \alpha,\overrightarrow\beta\rangle\right|}\\ &=\dfrac{d\cdot \left|\overrightarrow \alpha\right|\cdot \left|\overrightarrow \beta\right|}{\left|\overrightarrow \alpha\cdot \overrightarrow \beta\right|}\\ &=\dfrac{ab\cdot \sqrt{(a\cos\theta+c)^2+b^2\sin^2\theta}}{\left|ab\cos^2\theta+bc\cos\theta+ab\sin^2\theta\right|}\\ &=\dfrac{a\sqrt{(a\cos\theta+c)^2+(a^2-c^2)\sin^2\theta}}{|a+c\cos\theta|}\\ &=a,\end{split}\]因此命题得证.

 

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