已知函数 $f(x)=2ax+{\rm e}^x$，$g(x)=ax^2-2ax-x{\rm e}^x$，$a\in \mathbb R$．
1、讨论函数 $f(x)$ 的单调区间．
2、若对任意实数 $x$，$f(x)+g(x)\leqslant 1$，求 $a$ 的取值范围．
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每日一题[1825]强分离
已知 $a$ 是实数，函数 $f(x)=x-a\ln x$．
1、若函数 $f(x)$ 在 $x=1$ 处取得极值，求实数 $a$ 的值．
2、若函数 $g(x)=-\dfrac{1+a}x$，存在 $x\in [1,{\rm e}]$，使得 $f(x)<g(x)$ 成立，求实数 $a$ 的取值范围．
每日一题[1824]首尾呼应
求所有的正整数 $n$（$n\geqslant 3$），存在 $n$ 个连续的正整数，其中最大的数是其余 $n-1$ 个数的最小公倍数的因数．
每日一题[1823]离散的恒成立
设函数 $f(x)=x{\rm e}^x-ax+a$，若存在唯一的整数 $x_0$，使得 $f(x_0)<0$，则实数 $a$ 的取值范围是_______．
每日一题[1822]公约数与公倍数
设 $m,n\in\mathbb N^{\ast}$，$m>n$，证明：$[m,n]+[m+1,n+1]>\dfrac{2mn}{\sqrt{m-n}}$．
每日一题[1821]先选后排
在区间 $\left[100,999\right]$ 上，调换数位的排列顺序后可被 $11$ 整除（如 $121$ 和 $211$）的数的个数为_______．
每日一题[1820]容斥原理
$A,B,C,D,E$ 五人排成一排，$A$ 不与 $B$ 和 $C$ 相邻，$D$ 不与 $E$ 相邻，不同排法种数为_______．
每日一题[1819]单调数
如果一个正整数为个位数，或它的每一位上的数都小于（或都大于）它右边一位上的数字，我们就称它为单调数．例如 $3,23578,87620$ 都是单调数，但是 $88,7434,23557$ 不是单调数，则所有单调数的个数为_______．
每日一题[1818]借坡下驴
有限数列 ${A_n}:{a_1},{a_2}, \cdot \cdot \cdot ,{a_n}$（$n \geqslant 3$）同时满足下列两个条件： ① 对于任意的 $i,j$（$1 \leqslant i < j \leqslant n$），${a_i} < {a_j}$； ② 对于任意的 $i,j,k$（$1 \leqslant i < j < k \leqslant n$），${a_i}{a_j}$，${a_j}{a_k}$，${a_i}{a_k}$ 三个数中至少有一个数是数列 ${A_n}$ 中的项．
1、若 $n = 4$，且 ${a_1} = 1$，${a_2} = 2$，${a_3} = a$，${a_4} = 6$，求 $a$ 的值．
2、证明：$2,3,5$ 不可能是数列 ${A_n}$ 中的项．
3、求 $ n $ 的最大值．
每日一题[1817]左右不同
令 $\lfloor x \rfloor$ 表示不大于 $x$ 的最大整数，则关于 $x$ 的方程 $x^2 + 10000\lfloor x \rfloor = 10000x$ 的实数解个数为_______．