每日一题[1826]端点分析

已知函数 $f(x)=2ax+{\rm e}^x$,$g(x)=ax^2-2ax-x{\rm e}^x$,$a\in \mathbb R$.

1、讨论函数 $f(x)$ 的单调区间.

2、若对任意实数 $x$,$f(x)+g(x)\leqslant 1$,求 $a$ 的取值范围.

解析

1、函数 $f(x)$ 的导函数\[f'(x)=2a+{\rm e}^x,\]于是当 $a\geqslant 0$ 时,函数 $f(x)$ 的单调递增区间是 $\mathbb R$,没有单调递减区间;当 $a<0$ 时,函数 $f(x)$ 的单调递增区间是 $\left(\ln (-2a),+\infty\right)$,单调递减区间是 $\left(-\infty,\ln(-2a)\right)$.

2、根据题意,有\[\forall x\in \mathbb R,{\rm e}^x+ax^2-x{\rm e}^x\leqslant 1\iff \forall x\in\mathbb R,(x-1){\rm e}^x-ax^2+1\geqslant 0,\]设左侧函数为 $h_a(x)$,则注意到 $h_a(0)=0$,以及 $x\to -\infty$ 的情形,其导函数\[h_a'(x)=x\left({\rm e}^x-2a\right),\]函数 $h_a(x)$ 在 $x=0$ 取得最小值,因此 $a=0,\dfrac 12$ 为分界点.

情形一    $a\geqslant \dfrac 12$.此时函数 $h_a(x)$ 在 $(-\infty,0)$ 上单调递增,而 $h_a(0)=0$,因此当 $x<0$ 时,$h_a(x)<0$,矛盾.

情形二     $0<a<\dfrac 12$.当 $x<-\dfrac1{\sqrt a}$ 时,有\[h_a(x)<-ax^2+1<0,\]矛盾.

情形三     $a\leqslant 0$.此时\[h_a'(x)=x\left({\rm e}^x-a\right),\]因此函数 $h_a(x)$ 在 $x=0$ 处取得极小值,也为最小值 $h_a(0)=0$,符合题意. 综上所述,$a$ 的取值范围是 $(-\infty,0]$.

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