每日一题[1818]借坡下驴

有限数列 ${A_n}:{a_1},{a_2}, \cdot \cdot \cdot ,{a_n}$($n \geqslant 3$)同时满足下列两个条件: ① 对于任意的 $i,j$($1 \leqslant i < j \leqslant n$),${a_i} < {a_j}$; ② 对于任意的 $i,j,k$($1 \leqslant i < j < k \leqslant n$),${a_i}{a_j}$,${a_j}{a_k}$,${a_i}{a_k}$ 三个数中至少有一个数是数列 ${A_n}$ 中的项.

1、若 $n = 4$,且 ${a_1} = 1$,${a_2} = 2$,${a_3} = a$,${a_4} = 6$,求 $a$ 的值.

2、证明:$2,3,5$ 不可能是数列 ${A_n}$ 中的项.

3、求 $ n $ 的最大值.

解析

1、根据题意,$2a,12,6a$ 中至少有一个是数列的项,而 $2<a<6$,于是 $a=3$.

2、若 $2,3,5$ 是数列 $A_n$ 中的项,那么 $A_n$ 中必然包含 $6,10,15$ 中的至少一个,因此数列 $A_n$ 中含有至少 $4$ 个大于 $1$ 的数.接下来证明,数列 $A_n$ 中至多有 $3$ 个大于 $1$ 的数.否则,考虑数列中最大的 $4$ 个数,有 $a_n>a_{n-1}>a_{n-2}>a_{n-3}>1$,此时 $a_{n-1}a_{n-2}$ 与 $a_{n-1}a_{n-3}$ 均大于 $a_{n-1}$,因此有\[a_{n-1}a_{n-2}=a_{n-1}a_{n-3}=a_n\implies a_{n-2}=a_{n-3},\]矛盾. 综上所述,原命题得证.

3、利用第 $(2)$ 小题的证明方法,可以证明数列 $A_n$ 中至多有 $3$ 个绝对值大于 $1$ 的数,同时,至多有 $3$ 个绝对值小于 $1$ 且不为零的数.再加上绝对值为 $1$ 的数和 $0$,数列 $A_n$ 中至多有 $9$ 个数.接下来给出 $9$ 个数的例子:\[A_9:-4,-2,-1,-\dfrac 12,-\dfrac14,0,\dfrac 12,1,2.\] 综上所述,$n$ 的最大值为 $9$.

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