每日一题[1825]强分离

已知 $a$ 是实数,函数 $f(x)=x-a\ln x$.

1、若函数 $f(x)$ 在 $x=1$ 处取得极值,求实数 $a$ 的值.

2、若函数 $g(x)=-\dfrac{1+a}x$,存在 $x\in [1,{\rm e}]$,使得 $f(x)<g(x)$ 成立,求实数 $a$ 的取值范围.

解析

1、函数 $f(x)$ 的导函数\[f'(x)=1-\dfrac ax,\]因此若函数 $f(x)$ 在 $x=1$ 处取极值,则 $a=1$.经验证 $a=1$ 符合题意.

2、题意即\[\exists x\in [1,{\rm e}],x-a\ln x\leqslant -\dfrac{1+a}x,\]也即\[\exists x\in [1,{\rm e}],x^2+1\leqslant a(x\ln x-1),\]考虑到 $h(x)=x\ln x-1$ 在 $[1,{\rm e}]$ 上单调递增,且 $g(1)=-1$,$g({\rm e})={\rm e}-1$,因此函数 $h(x)$ 在 $(1,{\rm e})$ 上有唯一零点,记为 $m$.显然 $x=m$ 不符合题意,此时问题转化为\[\exists x\in [1,m),a\leqslant \dfrac{x^2+1}{x\ln x-1},\]或\[\exists x\in (m,{\rm e}],a\geqslant \dfrac{x^2+1}{x\ln x-1},\]记右侧函数为 $\lambda(x)$,则其导函数\[\lambda'(x)=\dfrac{x+1}{(x\ln x-1)^2}\cdot \left[(x-1)\ln x-(x+1)\right],\]令 $\mu(x)=(x-1)\ln x-(x+1)$,则其导函数\[\mu'(x)=\dfrac{x\ln x-1}x,\]因此函数 $\mu(x)$ 在 $[1,{\rm e}]$ 上先单调递减后单调递增,而\[\mu(1)=\mu({\rm e})=-2<0,\]于是在该区间上 $\mu(x)<0$,进而 $\lambda(x)$ 单调递减.因此问题即\[a\leqslant \max_{x\in [1,m)}\lambda(x) \lor a\geqslant \min_{x\in (m,{\rm e}]}\lambda(x),\]也即\[a\leqslant \lambda(1)\lor a\geqslant \lambda({\rm e})\iff a\leqslant -2\lor a\geqslant \dfrac{{\rm e}^2+1}{{\rm e}-1}.\]

此条目发表在每日一题分类目录,贴了标签。将固定链接加入收藏夹。

发表评论