每日一题[1823]离散的恒成立

设函数 $f(x)=x{\rm e}^x-ax+a$,若存在唯一的整数 $x_0$,使得 $f(x_0)<0$,则实数 $a$ 的取值范围是_______.

答案    $\left[\dfrac2{3{\rm e}^2},\dfrac{\rm e}2\right)\cup \left(2{\rm e}^2,\dfrac{3{\rm e}^3}2\right]$.

解析    根据题意,有\[f(x)=(-x+1)a+x{\rm e}^x,\]考虑 $x$ 取不同整数时,对应关于 $a$ 的不等式 $f(x)<0$ 的解集,有\[\begin{array} {c|c|c}\hline x&f(x)&a\\ \hline -2&3a-2{\rm e}^{-2}&a<\dfrac{2}{3{\rm e}^2}\\ \hline -1&2a-{\rm e}&a<\dfrac{\rm e}2\\ \hline 0&a&a<0\\ \hline 1&{\rm e}^x&\varnothing\\ \hline 2&-a+2{\rm e}^2&a>2{\rm e}^2\\ \hline 3&-2a+3{\rm e}^3&a>\dfrac{3{\rm e}^3}2\\ \hline\end{array}\]

这些关于 $a$ 的分界点在数轴上排列,可得使得 $f(x)<0$ 成立的正整数 $x$ 为 $-1$ 或 $2$,且实数 $a$ 的取值范围是 $\left[\dfrac2{3{\rm e}^2},\dfrac{\rm e}2\right)\cup \left(2{\rm e}^2,\dfrac{3{\rm e}^3}2\right]$.

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