每日一题[1824]首尾呼应

求所有的正整数 $n$($n\geqslant 3$),存在 $n$ 个连续的正整数,其中最大的数是其余 $n-1$ 个数的最小公倍数的因数.

解析    若 $n=3$,则设连续的 $3$ 个正整数为 $a,a+1,a+2$,而 $(a,a+1)=1$,于是 $(a+1,a+2)=1$,于是\[a+2\mid [a,a+1]\iff a+2 \mid a(a+1)\implies a+2\mid a,\]矛盾. 若 $n\geqslant 4$.当 $n$ 为偶数时,考虑\[n-1,n,\cdots,2(n-1),\]则 $2(n-1)$ 是 $[n,n-1]$ 的因数,符合要求;当 $n$ 为奇数时,考虑\[n-3,n-2,n-1,n,\cdots,2(n-2),\]则 $2(n-2)$ 是 $[n-2,n-1]$ 的因数,符合要求. 综上所述,对不小于 $4$ 的正整数 $n$,有符合要求的 $n$ 个连续正整数.

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