每日一题[1822]公约数与公倍数

设 $m,n\in\mathbb N^{\ast}$,$m>n$,证明:$[m,n]+[m+1,n+1]>\dfrac{2mn}{\sqrt{m-n}}$.

解析    设 $m-n=k$,则\[\begin{split} LHS&=\dfrac{mn}{(m,n)}+\dfrac{(m+1)(n+1)}{(m+1,n+1)}\\ &=\dfrac{mn}{(k,n)}+\dfrac{(m+1)(n+1)}{(k,n+1)}\\ &=mn\left(\dfrac1{(k,n)}+\dfrac1{(k,n+1)}\right)+\dfrac{m+n+1}{(k,n+1)},\end{split}\]由于 $(n,n+1)=1$,于是 $(k,n)\cdot (k,n+1)\leqslant k$,结合均值不等式可得\[\dfrac1{(k,n)}+\dfrac1{(k,n+1)}\geqslant \dfrac{2mn}{\sqrt k},\]命题得证.

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