每日一题[1821]先选后排

在区间 $\left[100,999\right]$ 上,调换数位的排列顺序后可被 $11$ 整除(如 $121$ 和 $211$)的数的个数为_______.

答案    $226$.

解析    对于三位数 $\overline{abc}$,$11\mid \overline{abc}$ 即 $11\mid a-b+c$,也即 $a+c=b$ 或 $a+c=b+11$.显然 $b\ne c$.

情形一   $a=b$.此时 $c=0$,对应有 $9$ 个数,加上调换顺序的,共 $18$ 个数.

情形二   $a=c$.此时有 $8$ 个数,加上调换顺序的,共 $24$ 个数.

情形三   $a,b,c$ 两两不等的.此时先考虑 $a<c$ 的,有\[\begin{split} (1,2,3),(1,3,4),(1,4,5),(1,5,6),(1,6,7),(1,7,8),(1,8,9),\\ (2,3,5),(2,4,6),(2,5,7),(2,6,8),(2,7,9),(2,9,0),\\ (3,4,7),(3,5,8),(3,6,9),(3,8,0),(3,9,1),\\ (4,5,9),(4,7,0),(4,8,1),(4,9,2),\\ (5,6,0),(5,7,1),(5,8,2),(5,9,3),\\ (6,7,2),(6,8,3),(6,9,4),\\ (7,8,4),(7,9,5),\\ (8,9,6),\end{split}\]共 $32$ 个数,调换顺序,共 $32\mathop{\rm A}\nolimits_3^3-8=184$ 个数(注意 $0$ 不能作首位).

综上所述,所求个数为 $18+24+184=226$.

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