任意 $m$ 个连续正整数中，必有一个数的各位数码之和是 $11$ 的倍数，则 $m$ 的最小值为_______．
严格递增的正实数数列 $\{x_n\}$ 满足：$x\in\{x_n\}$ 当且仅当 $x+\{x\}^2$ 为整数（其中等式中的 $\{x\}$ 表示 $x$ 的小数部分），那么这个数列的前 $100$ 项之和是______．
在坐标平面内，从原点出发以同一初速度 $v_0$ 和不同发射角（即发射方向与 $x$ 轴轴向之间的夹角）$\alpha$（$\alpha\in [0,\pi]$，$\alpha\ne \dfrac{\pi}2$）射出的质点，在重力的作用下运动轨迹是抛物线，所有这些抛物线组成一个抛物线族，若两条抛物线在同一个交点处的切线互相垂直，则称这个交点为正交点．证明：此抛物线族的所有正交点的集合是一段椭圆弧，并求此椭圆弧的方程．
设复数 $z$，$\left|z+\dfrac 1z\right|=1$，则 $|z|$ 的取值范围为_______．
设函数 $f(x)=\begin{cases}x,&x\geqslant a,\\ x^3-3x,&x<a.\end{cases}$
$(1)$ 若 $f(x)$ 有两个零点，则实数 $a$ 的取值范围是_______；
$(2)$ 若 $a\leqslant -2$，则满足 $f(x)+f(x-1)>-3$ 的 $x$ 的取值范围是_______．
已知 $a_1,a_2,\cdots,a_n,\cdots$ 是由正整数组成的无穷数列．对任意 $n\in\mathbb{N}^{\ast}$，$a_n$ 满足如下两个条件： ① $a_n$ 是 $n$ 的倍数； ② $|a_n-a_{n+1}|\leqslant 5$．
1、若 $a_1=30$，$a_2=32$，写出满足条件的所有 $a_3$ 的值．
2、求证：当 $n\geqslant 11$ 时，$a_n\leqslant 5n$．
3、求 $a_1$ 所有可能取值中的最大值．
过椭圆 $W:\dfrac{x^2}{2}+y^2=1$ 的左焦点 $F_1$ 作直线 $l_1$ 交椭圆于 $A,B$ 两点，其中 $A(0,1)$．另一条过 $F_1$ 的直线 $l_2$ 交椭圆于 $C,D$ 两点（不与 $A,B$ 两点重合），且 $D$ 点不与点 $(0,-1)$ 重合．过 $F_1$ 作 $x$ 轴的垂线，分别交直线 $AD,BC$ 于 $E,G$．
1、求 $B$ 点坐标和直线 $l_1$ 的方程．
2、求证：$|EF_1|=|GF_1|$．
给定正整数 $N$，对任意的正整数 $n$，设数列 $\{a_n\}$ 中 $a_1=0$，$a_2=1$，且\[a_{n+1}+a_{n-1}=\left(2-\dfrac 1N\right)a_n,n\geqslant 2.\]
1、当 $N=1$ 时，求 $a_6$ 及 $\{a_n\}$ 前 $2015$ 项的和 $S_{2015}$．
2、证明：对所有的正整数 $n$，都有 $a_n<\sqrt{N+1}$．
已知抛物线 $y^2=2x$ 的焦点有两条直线 $l_1,l_2$，直线 $l_1$ 交抛物线于点 $P,M$，直线 $l_2$ 交抛物线于点 $Q,N$，若直线 $PQ$ 的方程为 $4x-9y+4=0$，那么直线 $MN$ 的斜率为_______．
在锐角三角形 $ABC$ 中，已知 $2\sin^2A+\sin^2B=2\sin^2C$，则 $\dfrac{1}{\tan A}+\dfrac{1}{\tan B}+\dfrac{1}{\tan C}$ 的最小值为_______．
