每日一题[1473]数列上界估计

已知 $a_1,a_2,\cdots,a_n,\cdots$ 是由正整数组成的无穷数列.对任意 $n\in\mathbb{N}^{\ast}$,$a_n$ 满足如下两个条件: ① $a_n$ 是 $n$ 的倍数; ② $|a_n-a_{n+1}|\leqslant 5$.

1、若 $a_1=30$,$a_2=32$,写出满足条件的所有 $a_3$ 的值.

2、求证:当 $n\geqslant 11$ 时,$a_n\leqslant 5n$.

3、求 $a_1$ 所有可能取值中的最大值.

解析

1、$a_3$ 的值可取 $27,30,33,36$.

2、因为对任意 $n\in\mathbb{N}^{\ast}$,都有\[a_n\leqslant 5(n-1)+a_1,\]所以当 $n\geqslant a_1$ 时,有 \[a_n\leqslant 6n-5<6n,\]从而 $a_n\leqslant 5n$.因此满足\[a_k\geqslant 6k\]的正整数 $k$ 只有有限多个,设这些正整数 $k$ 中最大的为 $m$,则 \[\begin{split} a_m&\geqslant 6m,\\ a_{m+1}&\leqslant 5(m+1), \end{split}\] 故\[5\geqslant a_m-a_{m+1}\geqslant 6m-5(m+1)=m-5,\]解得 $m\leqslant 10$.因此当 $n\geqslant 11$ 时,$a_n\leqslant 5n$.

3、根据题意,有\[\begin{array} {c|ccccccccccc}\hline n&11&10&9&8&7&6&5&4&3&2&1\\ \hline a_n\leqslant &55&60&63&64&63&66&70&72&75&80&85\\ \hline \end{array}\]于是如上述列举取值,且当 $n\geqslant 12$ 时,$a_n=5n$,则该数列符合题意.因此 $a_1$ 的最大值为 $85$.

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