每日一题[1471]特征根法

给定正整数 $N$,对任意的正整数 $n$,设数列 $\{a_n\}$ 中 $a_1=0$,$a_2=1$,且\[a_{n+1}+a_{n-1}=\left(2-\dfrac 1N\right)a_n,n\geqslant 2.\]

1、当 $N=1$ 时,求 $a_6$ 及 $\{a_n\}$ 前 $2015$ 项的和 $S_{2015}$.

2、证明:对所有的正整数 $n$,都有 $a_n<\sqrt{N+1}$.

解析

1、当 $N=1$ 时,有\[a_{n+1}=a_n-a_{n-1},\]于是\[\begin{array} {c|cccccccc}\hline n&1&2&3&4&5&6&7&8\\ \hline a_n&0&1&1&0&-1&-1&0&1\\ \hline \end{array}\]因此 $a_6=-1$,且 $\{a_n\}$ 是周期为 $6$ 的数列,于是\[S_{2015}=S_5=1.\]

2、根据题意,有\[a_{n+1}=\left(2-\dfrac 1N\right)a_n-a_{n-1},\]由特征根法,其特征方程\[x^2=\left(2-\dfrac 1N\right)x-1\]对应的特征根为 $z$ 和 $\overline z$,其中 $|z|=1$.因此\[a_n=\dfrac{z^n-\overline z^n}{\dfrac{1}{N}\sqrt{4N-1}\cdot {\rm i}},\]进而\[a_n=|a_n|\leqslant \dfrac{2N|z|^n}{\sqrt{4N-1}}=\dfrac{2N}{\sqrt{4N-1}}=\sqrt{N+1}\cdot \sqrt{\dfrac{4N^2}{4N^2+3N-1}}<\sqrt{N+1},\]命题得证.

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