空间有 $A,B,C,D$ 四个点，满足 $AC\perp BD$，空间中还有 $A',B',C',D'$，满足 $A'B'=AB$，$A'D'=AD$，$B'C'=BC$，$C'D'=CD$，求证：$A'C'\perp B'D'$．
已知 $a,b\in\mathbb N$，$\dfrac{a+1}{b}+\dfrac{b+1}a$ 为整数，求证：$a,b$ 没有大于 $\sqrt{a+b}$ 的公因数．
已知 $\left(\tan\alpha+\dfrac1{\cos\alpha}\right)\left(\tan\beta+\dfrac1{\cos\beta}\right)=1$，则 $\alpha+\beta=$ _______．
不等式 $\left(|x|+|y|-1\right)\left(x^2+4y^2-4\right)\leqslant 0$ 表示的区域的面积是_______．
若 $\sin x+\cos x=\dfrac 13$，且 $0<x<\pi$，则 $\sin 2x+\cos 2x=$ _______．
求值：$\cos^4\dfrac{\mathrm \pi}{8}+\cos^4\dfrac{3\mathrm \pi}{8}+\cos^4\dfrac{5\mathrm \pi}{8}+\cos^4\dfrac{7\mathrm \pi}{8}$．
设 $a=\sin 15^\circ+\cos 15^\circ$，$b=\sin 16^\circ+\cos 16^\circ$，则下列各式正确的是（ ）
A．$a<\dfrac {a^2+b^2}2<b$
B．$a<b<\dfrac {a^2+b^2}2$
C．$b<a<\dfrac {a^2+b^2}2$
D．$b<\dfrac {a^2+b^2}2<a$
函数 $f(x)=\dfrac {\sin x}{\sqrt {5+4\cos x}}$（$0\leqslant x\leqslant 2\pi$）的值域是( )
A．$\left[-\dfrac 14,\dfrac 14\right]$
B．$\left[-\dfrac 13,\dfrac 13\right]$
C．$\left[-\dfrac 12,\dfrac 12\right]$
D．$\left[-\dfrac 23,\dfrac 23\right]$
已知 $f(x),g(x),h(x)$ 均为一次函数，若对实数 $x$ 满足\[|f(x)|-|g(x)|+h(x)=\begin{cases} -1,&x<-1,\\ 3x+2,&-1\leqslant x<0,\\ -2x+2,&x\geqslant 0,\end{cases}\]则 $h(x)$ 的解析式为_______．
