每日一题[1474]分段函数的零点

设函数 $f(x)=\begin{cases}x,&x\geqslant a,\\ x^3-3x,&x<a.\end{cases}$

$(1)$ 若 $f(x)$ 有两个零点,则实数 $a$ 的取值范围是_______;

$(2)$ 若 $a\leqslant -2$,则满足 $f(x)+f(x-1)>-3$ 的 $x$ 的取值范围是_______.

答案      $\left(-\sqrt{3},\sqrt{3} \right]$;$(-1,+\infty)$.

解析      $(1)$ 如图可知,实数 $a$ 的取值范围是 $\left(-\sqrt{3},\sqrt{3} \right]$.

$(2)$ 当 $a\leqslant -2$ 时,函数 $f(x)$ 在 $\mathbb{R}$ 上单调递增,令\[g(x)=f(x)+f(x-1),\]则 $g(x)$ 在 $\mathbb{R}$ 上单调递增.由于 $g(-1)=-3$,故 $x>-1$.

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