每日一题[1475]复数的三角形式

设复数 $z$,$\left|z+\dfrac 1z\right|=1$,则 $|z|$ 的取值范围为_______.

答案      $\left[\dfrac{\sqrt 5-1}2,\dfrac{\sqrt 5+1}2\right]$.

解析       设 $z=(\theta:r)$,则根据题意,有\[\left|\left(r+\dfrac 1r\right)\cos\theta+{\rm i}\left(r-\dfrac 1r\right)\sin\theta\right|=1,\]即\[r^2+\dfrac 1{r^2}+2\cos2\theta=1,\]因此 $|z|$ 的取值范围由不等式\[r^2+\dfrac{1}{r^2}\leqslant 3\]确定,解得所求取值范围是 $\left[\dfrac{\sqrt 5-1}2,\dfrac{\sqrt 5+1}2\right]$.

练习      (2014年高中数学联赛安徽省预赛)设复数 $z$ 满足 $\left|z+\dfrac 1z\right|\leqslant 2$,则 $|z|$ 的取值范围是 _______.

答案      $\big[\sqrt 2-1,\sqrt 2+1\big]$.

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