每日一题[1470]抛物线的平均性质

已知抛物线 $y^2=2x$ 的焦点有两条直线 $l_1,l_2$,直线 $l_1$ 交抛物线于点 $P,M$,直线 $l_2$ 交抛物线于点 $Q,N$,若直线 $PQ$ 的方程为 $4x-9y+4=0$,那么直线 $MN$ 的斜率为_______.

答案      $-\dfrac 89$.

解析      设 $P(x_1,y_1)$,$M(x_2,y_2)$,$Q(x_3,y_3)$,$N(x_4,y_4)$,则根据抛物线的平均性质,有\[ x_1x_2= x_3x_4=\dfrac 14,\]于是\[y_1y_2=y_3y_4=-1,\]联立直线 $PQ$ 与抛物线方程,有\[y^2=2\cdot \dfrac{9y-4}4,\]于是\[y_1+y_3=\dfrac 92,y_1y_3=2,\]进而直线 $MN$ 的斜率\[k=\dfrac{y_2-y_4}{x_2-x_4}=\dfrac{2}{y_2+y_4}=\dfrac{2}{-\dfrac{1}{y_1}-\dfrac{1}{y_3}}=-\dfrac{2y_1y_3}{y_1+y_3}=-\dfrac 89.\]

备注      特别的,直线 $MN$ 与直线 $PQ$ 交点在抛物线准线 $x=-\dfrac 12$ 上,于是直线 $MN$ 过点 $\left(-\dfrac 12,\dfrac 29\right)$,因此直线\[MN:8x+9y+2=0.\]

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