已知椭圆 $\Gamma:\dfrac{x^2}{a^2}+\dfrac{y^2}{b^2}=1$（$a>b>0$）的上顶点为 $C(0,1)$，以 $C$ 为圆心，以 $\dfrac{4\sqrt 3}3$ 为半径的圆 $C$ 与椭圆 $\Gamma$ 恰好相切．
1、求椭圆 $\Gamma$ 的方程．
2、设点 $P$ 是圆 $C$ 上一点，过 $P$ 作椭圆 $\Gamma$ 的两条切线，与椭圆 $\Gamma$ 切于 $A,B$ 两点．当 $PA\perp PB$ 时，求点 $P$ 的坐标．
设函数 $f(x)=ax^3+bx^2+cx+d$（$a,b,c,d\in \mathbb{R} $ 且 $ a\ne 0$），若 $0<2f(2)=3f(3)=4f(4)<1$，则 $f(1)+f(5)$ 的取值范围是（ ）
A．$\left(0,1\right)$
B．$\left(1,2\right)$
C．$\left(2,3\right)$
D．$\left(3,4\right)$
已知抛物线 $E:x^2=2py$（$0<p<2$）的焦点为 $F$，圆 $C:x^2+(y-1)^2=1$．点 $P(x_0,y_0)$ 为抛物线上一动点．当 $|PF|=\dfrac{5p}2$ 时，$\triangle PCF$ 的面积为 $\dfrac 12$．
1、求抛物线 $E$ 的方程．
2、若 $y_0>\dfrac 12$，过点 $P$ 作圆 $C$ 的两条切线分别交 $y$ 轴于 $M,N$ 两点．求 $\triangle PMN$ 的面积的最小值．
已知数列 $\{x_n\}$ 满足 $x_1=2$，$x_{n+1}=\sqrt{2x_n-1}$（$n\in\mathbb N^{\ast}$．给出下列两个命题： 命题 $p$：对任意 $n\in\mathbb N^{\ast}$，都有 $1<x_{n+1}<x_n$； 命题 $q$：存在 $r\in(0,1)$，使得对任意 $n\in\mathbb N^{\ast}$，都有 $x_n\leqslant r^{n-1}+1$． 则（ ）
A．$p$ 真，$q$ 真
B．$p$ 真，$q$ 假
C．$p$ 假，$q$ 真
D．$p$ 假，$q$ 假
已知椭圆 $C_1:\dfrac{x^2}2+y^2=1$，过椭圆 $C_1$ 上一点 $P$ 作椭圆 $C_1$ 的切线 $l$，$O$ 为坐标原点．
1、当直线 $l$ 与坐标轴不垂直时，设直线 $l$ 的斜率为 $k$，直线 $OP$ 的斜率为 $k_{OP}$，求证：$k\cdot k_{OP}$ 为定值．
2、设直线 $l$ 与椭圆 $C_2:\dfrac{x^2}4+\dfrac{y^2}2=1$ 相交于 $M,N$ 两点，求 $|MN|\cdot |OP|$ 的取值范围．
设 $x,y>0$，则 $m=\dfrac{1}{1+\sin (xy)}+\dfrac{\sin^2x+\sin^2y}{1+xy}$ 的取值范围是（ ）
A．$[1,+\infty)$
B．$(1,+\infty)$
C．$\left[\dfrac 12,+\infty\right)$
D．$\left(\dfrac 12,+\infty\right)$
已知 $x,y\in\mathbb R$，且 $x+y>0$，则 $\dfrac{3+2x^2+xy+y^2}{x+y}$ 的最小值为_______．
已知 $\triangle ABC$ 的面积为 $\sqrt 2+1$，$AC=2\sqrt 3$，且 $\dfrac{4}{\tan A}+\dfrac{3}{\tan B}=1$，则 $\tan A=$ _______．
