每日一题[1472]椭圆的参数弦方程

过椭圆 $W:\dfrac{x^2}{2}+y^2=1$ 的左焦点 $F_1$ 作直线 $l_1$ 交椭圆于 $A,B$ 两点,其中 $A(0,1)$.另一条过 $F_1$ 的直线 $l_2$ 交椭圆于 $C,D$ 两点(不与 $A,B$ 两点重合),且 $D$ 点不与点 $(0,-1)$ 重合.过 $F_1$ 作 $x$ 轴的垂线,分别交直线 $AD,BC$ 于 $E,G$.

1、求 $B$ 点坐标和直线 $l_1$ 的方程.

2、求证:$|EF_1|=|GF_1|$.

解析

1、直线 $l_1$ 的方程为 $y=x+1$,联立直线 $l_1$ 与椭圆 $W$ 的方程,可得\[3x^2+4x=0,\]于是 $B\left(-\dfrac 43,-\dfrac 13\right)$.

2、设 $C\left(\sqrt 2\cos 2\theta_1,\sin 2\theta_2\right)$,$D\left(\sqrt 2\cos 2\theta_2,\sin 2\theta_2\right)$,$E(-1,m)$,$G(-1,n)$,则根据椭圆的参数弦方程,可得\[\tan\theta_1\tan\theta_2=-\left(3+2\sqrt 2\right).\]而\[\begin{cases} \dfrac{m-1}{-1-0}=\dfrac{\sin 2\theta_1-1}{\sqrt 2\cos 2\theta_1 -0},\\ \dfrac{n-\left(-\dfrac 13\right)}{-1-\left(-\dfrac 43\right)}=\dfrac{\sin 2\theta_2-\left(-\dfrac 13\right)}{\sqrt 2\cos 2\theta_2-\left(-\dfrac 43\right)},\end{cases}\]解得\[\begin{cases} m=\dfrac{1}{\sqrt 2}\cdot \dfrac{1-\tan\theta_1}{1+\tan\theta_1}+1,\\ n=-\dfrac{1}{\sqrt 2}\cdot \dfrac{\left(3-2\sqrt 2\right)\tan^2\theta_2+2\tan\theta_2+\left(3+2\sqrt 2\right)}{\left(3-2\sqrt 2\right)\tan^2\theta_2-\left(3+2\sqrt 2\right)}-1,\end{cases}\]将\[\tan\theta_2=-\dfrac{3+2\sqrt 2}{\tan\theta_1}\]代入即得\[m+n=0,\]于是命题得证.

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