每日一题[1963]转角为边

已知 $\triangle ABC$ 的内角 $A,B,C$ 的对边分为 $a,b,c$,$b=1$,$c\sin A=2\sqrt 3\sin^2C$,则 $\dfrac{\sin C}{\sin B}$ 的最大值为(       )

A.$2+\sqrt 3$

B.$2-\sqrt 3$

C.$3+\sqrt 2$

D.$3-\sqrt 2$

答案    A.

解析    根据正弦定理,有\[c\sin A=2\sqrt 3\sin^2C\iff a=2\sqrt 3 \sin C,\]且 $\dfrac{\sin C}{\sin B}=\dfrac cb=c$.根据余弦定理,有\[\begin{split} c^2&=a^2+b^2-2ab\cos C\\ &=12\sin^2C+1-4\sqrt 3\sin C\cos C\\ &=6(1-\cos 2C)-2\sqrt 3\sin 2C+1\\ &=7-4\sqrt 3\sin\left(2C+\dfrac{\pi}3\right)\\ &\leqslant 7+4\sqrt 3,\end{split}\]等号当 $C=\dfrac{7\pi}{12}$ 时取得,因此所求最大值为 $2+\sqrt 3$.

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