每日一题[1959]适当配对

已知函数 $f(x)=\dfrac{ax+\left|\ln (x-b)\right|}{a+1}$($x>b$,$a,b>0$).

1、求函数 $f(x)$ 的最小值.

2、若数列 $\{x_n\}$ 满足 $x_{n+1}=\left|\ln \left(x_n-\dfrac 12\right)\right|+\dfrac{1}{\sqrt{\rm e}}$,且对任意正整数 $n$,$x_n\ne \dfrac 12$,求证:$x_1+x_2+\cdots+x_{2021}\geqslant 1010+\dfrac{2020}{\sqrt {\rm e}}$.

解析

1、考虑函数 $g(x)=(a+1)f\left(\dfrac xa+b\right)-ab$,即 $g(x)=x+|\ln x-\ln a|$,也即\[g(x)=\begin{cases} x-\ln x+\ln a,&0<x<a,\\ x+\ln x-\ln a,&x\geqslant a,\end{cases}\]考虑到\[(x-\ln x+\ln a)'=1-\dfrac 1x,\]于是当 $0<a\leqslant 1$ 时,$g(x)$ 的最小值 $g(a)=a$;当 $a> 1$ 时,$g(x)$ 的最小值为 $g(1)=1+\ln a$,进而可得 $f(x)$ 的最小值为\[\begin{cases} \dfrac{a+ab}{a+1},&a\in(0,1],\\ \dfrac{ab+1+\ln a}{a+1},&a\in(1,+\infty).\end{cases}\]

2、设迭代函数 $f(x)=\left|\ln\left(x-\dfrac 12\right)\right|+\dfrac{1}{\sqrt {\rm e}}$,则 $f(x)$ 的不动点为 $x_0=\dfrac 12+\dfrac{1}{\sqrt{\rm e}}$.考虑证明当 $x_k<x_0$ 时,有 $x_{k+1}+x_k>2x_0$.即当 $x\in \left(0,x_0\right)$ 时,有\[x+f(x)>1+\dfrac{2}{\sqrt{\rm e}}\iff x-\ln\left(x-\dfrac 12\right)>1+\dfrac{1}{\sqrt{\rm e}},\]考虑到左侧函数在 $(0,x_0)$ 上单调递减,因此该不等式成立. 此时考虑将 $x_1,x_2,\cdots,x_{2020}$ 中的小于 $x_0$ 的项 $x_i$ 挑选出来与其后一项 $x_{i+1}$ 配对,将这两项改写为 $x_0,x_0$ 放回去,那么新数列的所有项之和不小于原数列,且前 $2020$ 项中的每一项均不小于 $x_0$,因此命题得证.

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