每日一题[1966]配凑均值

边长为 $2$ 的正方形,经如图所示的方式剪裁后,可以围成一个正四棱锥,则此正四棱锥的体积最大值为_______.

答案    $\dfrac{16\sqrt 5}{375}$.

解析    设底面边长为 $2a$,则正四棱锥侧高为 $1-a$,高为 $\sqrt{1-2a}$,于是正四棱锥的体积 $V$ 满足\[\begin{split} V^2&=\left(\dfrac 13\cdot (2a)^2\cdot \sqrt{1-2a}\right)^2\\ &=\dfrac{8}9\cdot x^4\cdot (2-4x)\\ &\leqslant \dfrac 89\cdot\left(\dfrac 25\right)^5\\ &=\dfrac{16^2}{3^2\cdot 5^5},\end{split}\]因此 $V$ 的最大值为 $\dfrac{16\sqrt 5}{375}$,当 $a=\dfrac 35$ 时取得.

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