每日一题[1957]三倍角公式

在 $\triangle ABC$ 中,$\angle B=90^\circ$,点 $D$ 在边 $BC$ 上,$\angle BAD=2\angle C$,$BC=12$,$CD=8$,则 $AB=$ _______.

答案    $\dfrac{12\sqrt 7}7$.

解析    设 $\angle C=x$,则 $\angle DAC=\dfrac{\pi}2-3x$,$\angle ADC=\dfrac{\pi}2+2x$,且 $AC=\dfrac{12}{\cos x}$,于是在 $\triangle ADC$ 中应用正弦定理,有\[\dfrac{AC}{\sin\angle ADC}=\dfrac{CD}{\sin\angle DAC}\implies \dfrac{12}{\cos x\sin\left(\dfrac{\pi}2+2x\right)}=\dfrac{8}{\sin\left(\dfrac{\pi}2-3x\right)},\]于是\[\dfrac{\cos 3x}{\cos x\cos 2x}=\dfrac 23\iff \dfrac{4\cos^3x-3\cos x}{2\cos^3x-\cos x}=\dfrac 23\iff \cos x=\dfrac{\sqrt{14}}4,\]于是\[AB=BC\cdot\tan x=12\cdot\dfrac{1}{\sqrt7}=\dfrac{12\sqrt 7}7.\]

此条目发表在每日一题分类目录,贴了标签。将固定链接加入收藏夹。

每日一题[1957]三倍角公式》有2条回应

  1. prayer17说:

    今天学了一下sin,cos,tan的定义,昨天学了一下二次函数的解,虽然现在看不懂,说不定过几天我就能看懂了。

  2. 有り明けの 有り明けの说:

    tan2C=4/AB
    tanC=AB/12
    利用正切的二倍角公式似乎更便利

发表评论