每日一题[1964]代数形式

设等差数列 $\{a_n\}$ 的公差为 $d$($d\ne 0$),前 $n$ 项和为 $S_n$,若数列 $\left\{\sqrt{8S_n+2n}\right\}$ 也是公差为 $d$ 的等差数列,则数列 $\{a_n\}$ 的通项 $a_n=$ _______.

答案    $4n-\dfrac 94$($n\in\mathbb N^*$).

解析    lanqi根据题意,设 $S_n=\dfrac d2n^2+an$,则\[8S_n+2n=4dn^2+(8a+2)n,\]此关于 $n$ 的二次式为完全平方式,因此 $a=-\dfrac 14$,且 $\sqrt{4d}=d$,于是 $d=4$,从而 $a_n=4n-\dfrac 94$($n\in\mathbb N^{\ast}$)..org/wp-admin/post.php?post=30251&action=edit

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