每日一题[1961]外心的向量表达

已知 $\triangle A B C$ 的外接圆圆心为 $O$,$|A B|=6$,$|A C|=8$,$\overrightarrow{A O}=\alpha \overrightarrow{A B}+\beta \overrightarrow{A C}$($\alpha, \beta \in \mathbb R$),若 $\sin ^{2} A \cdot\left(t \alpha+\beta-\dfrac{1}{2}\right)$($t$ 为实数)有最小值,则参数 $t$ 的取值范围是_______.

答案    $\left(-\dfrac{33}{16},\dfrac{15}{16}\right)$.

解析    根据题意,有 $\overrightarrow{AO}\cdot \overrightarrow{AB}=\dfrac 12AB^2$,$\overrightarrow{AO}\cdot \overrightarrow{AC}=\dfrac 12AC^2$,于是\[\begin{cases} \overrightarrow{AO}\cdot \overrightarrow{AB}=\alpha \cdot AB^2+\beta \overrightarrow{AC}\cdot \overrightarrow{AB},\\ \overrightarrow{AO}\cdot \overrightarrow{AC}=\alpha\overrightarrow{AB}\cdot \overrightarrow{AC}+\beta\cdot AC^2,\end{cases}\iff \begin{cases} 18=36\alpha+48\beta\cos A,\\ 32=48\alpha\cos A+64\beta,\end{cases}\]解得 $\alpha=\dfrac{3-4\cos A}{6\sin ^2A}$,$\beta=\dfrac{4-3\cos A}{8\sin^2A}$,因此\[\sin^2A\cdot \left(t\alpha+\beta-\dfrac 12\right)=\dfrac 12\cos^2A-\left(\dfrac 23t+\dfrac 38\right)\cos A+\dfrac 12t,\]其中 $\cos A$ 的取值范围是 $(-1,1)$,因此有\[-1<\dfrac23t+\dfrac 38<1\iff -\dfrac{33}{16}<t<\dfrac{15}{16}.\]

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