已知 $\triangle A B C$ 的外接圆圆心为 $O$，$|A B|=6$，$|A C|=8$，$\overrightarrow{A O}=\alpha \overrightarrow{A B}+\beta \overrightarrow{A C}$（$\alpha, \beta \in \mathbb R$），若 $\sin ^{2} A \cdot\left(t \alpha+\beta-\dfrac{1}{2}\right)$（$t$ 为实数）有最小值，则参数 $t$ 的取值范围是_______．
答案 $\left(-\dfrac{33}{16},\dfrac{15}{16}\right)$．
解析 根据题意，有 $\overrightarrow{AO}\cdot \overrightarrow{AB}=\dfrac 12AB^2$，$\overrightarrow{AO}\cdot \overrightarrow{AC}=\dfrac 12AC^2$，于是\[\begin{cases} \overrightarrow{AO}\cdot \overrightarrow{AB}=\alpha \cdot AB^2+\beta \overrightarrow{AC}\cdot \overrightarrow{AB},\\ \overrightarrow{AO}\cdot \overrightarrow{AC}=\alpha\overrightarrow{AB}\cdot \overrightarrow{AC}+\beta\cdot AC^2,\end{cases}\iff \begin{cases} 18=36\alpha+48\beta\cos A,\\ 32=48\alpha\cos A+64\beta,\end{cases}\]解得 $\alpha=\dfrac{3-4\cos A}{6\sin ^2A}$，$\beta=\dfrac{4-3\cos A}{8\sin^2A}$，因此\[\sin^2A\cdot \left(t\alpha+\beta-\dfrac 12\right)=\dfrac 12\cos^2A-\left(\dfrac 23t+\dfrac 38\right)\cos A+\dfrac 12t,\]其中 $\cos A$ 的取值范围是 $(-1,1)$，因此有\[-1<\dfrac23t+\dfrac 38<1\iff -\dfrac{33}{16}<t<\dfrac{15}{16}.\]