每日一题[1965]单位

如图所示,分别作正四面体 $P-ABC$ 的平行于四个面的截面,使得 $P-ABC$ 的四个面都被截成正六边形,截去 $4$ 个小四面体后得到的多面体记为 $G$,则四面体 $P-ABC$ 与多面体 $G$ 的表面积比为_______;体积比为_______.

答案    $\dfrac 97$;$\dfrac{27}{23}$.

解析    根据题意,所有截面与棱的交点均为对应棱的三等分点.设被截去的小正四面体的底面面积为 $S$,体积为 $V$,则四面体 $P-ABC$ 的表面积为 $36S$,体积为 $27V$;多面体 $G$ 的表面积为 $28S$,体积为 $23V$.因此所求表面积之比为 $\dfrac 97$,体积之比为 $\dfrac{27}{23}$.

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